Akar Kuadrat

Sifat akar-akar persamaan kuadrat

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka:

x₁ + x₂ = –b/a

x₁.x₂ = c/a

|x₁ – x₂| = –D/a

(Ingat! D = b² – 4.a.c)

Bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat

Jumlah kuadrat akar-akar:
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2.x₁.x₂
Jumlah pangkat tiga akar-akar:
x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3.x₁.x₂.(x₁ + x₂)
Jumlah pangkat empat akar-akar:
x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² – 2.x₁².x₂²
Jumlah kebalikan akar-akar:

Jumlah kuadrat kebalikan akar-akar:

Selisih kuadrat akar-akar:
x₁² – x₂² = (x₁ + x₂).(x₁ – x₂) dimana x₁ > x₂

Hubungan Jenis Akar-akar PK dengan Nilai Diskriminan (D)

• Jika D > 0 maka PK mempunyai 2 akar real yang berlainan

→ D = bilangan kuadrat berarti akar-akarnya rasional

→ D bukan bilangan kuadrat berarti akar-akarnya irasional

• Jika D = 0 maka PK m,empunyai 1 akar real atau akar-akarnya kembar
• Jika D ≥ 0 maka PK mempunyai 2 akar real/nyata
• Jika D < 0 maka PK tidak mempuyai akar real / akar-akarnya imajiner
• Jika kedua akar positif (x₁ > 0, x₂ > 0)

D ≥ 0

x₁ + x₂ > 0

x₁.x₂ > 0

• Jika kedua akar negatif (x₁ < 0 dan x₂ < 0)

D ≥ 0

x₁ + x₂ < 0

x₁.x₂ > 0

• Jika kedua akar berlainan tanda (1 positif, 1 negatif)

D > 0

x₁.x₂ < 0

• Jika kedua akar bertanda sama (sama-sama positif/sama-sama negatif)

D ≥ 0

x₁.x₂ > 0

• Jika kedua akar saling berlawanan (x₁ = –x₂)

D > 0

b = 0 (diperoleh dari x₁ + x₂ = 0)

x₁.x₂ < 0

• Jika kedua akar saling berkebalikan (x₁ = 1/x₂)

D > 0

c = a

Contoh 1:
Tentukan nilai m agar x² + 4x + (m – 4) = 0 mempunyai 2 akar real
D ≥ 0
b² – 4ac ≥ 0
4² – 4.1.(m – 4) ≥ 0
16 – 4m + 16 ≥ 0
–4m ≥ –16 – 16
Semua dibagi –4
(Ingat! Jika dibagi atau dikali bilangan negatif tanda pertidaksamaan dibalik)
m ≤ 4 + 4
m ≤ 8






Contoh 2:
Tentukan nilai n agar akar-akar PK x² + (2n + 2)x + 5 – n = 0 bertanda sama
Syarat 1
D ≥ 0
b² – 4ac ≥ 0
(2n + 2)² – 4.1.(5 – n) ≥ 0
4n² + 8n + 4 – 20 + 4n ≥ 0
4n² + 12n – 16 ≥ 0
Semua dibagi 4:
n² + 3n – 4 ³ 0
(n + 4).(n – 1) ³ 0
Pembuat nol: n = –4 atau n = 1
Syarat 2:
x₁.x₂ > 0

Gambar garis bilangan:

Jadi: HP = {n | n ≤ –4 atau 1 ≤ n < 5}

Menyusun PK

PK dengan akar-akar x₁ dan x₂ adalah:

x² – (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0

dengan kata lain:

x² – (jumlah akar-akar)x + (hasil kali akar-akar) = 0

Contoh 1:
Tentukan PK yang mempunyai akar-akar 2 dan –5:
x² – (2 + (–5))x + (2.(–5)) = 0
x² + 3x – 10 = 0

Contoh 2:
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar PK: x² – 3x – 1 = 0, susun PK baru yang akar-akarnya 3x₁ + 2 dan 3x₂ + 2!
Karena PK tersebut tidak dapat difaktorkan,
x₁ + x₂ = –b/a = –(– 3) /1 = 3
x₁.x₂ = c/a = –1/1 = –1
Misal akar-akar PK baru adalah y₁ dan y₂:
y₁ + y₂ = 3.x₁ + 2 + 3.x₂ + 2
= 3(x₁ + x₂) + 4 = 9 + 4 = 13
y₁.y₂ = (3x₁ + 2).(3x₂ + 2)
= 9.x₁.x₂ + 6.x₁ + 6.x₂ + 4
= 9.(–1) + 6.3 + 4 = –9 + 18 + 4 = 13
Jadi PK barunya:
x² – (y₁ + y₂)x + (y₁.y₂) = 0
x² – 13x + 13 = 0


(http://matematikablogscience.blogspot.com/2012/03/sifat-akar-persamaan-kuadrat.html )